Question

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC₁上一點(diǎn)，且CF=2a．
（Ⅰ）求證：B₁F⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角F-AD-C的正切值；
（Ⅲ）試在AA₁上找一點(diǎn)E，使得BE∥平面ADF，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）證明B₁F⊥平面ADF，只需證明B₁F⊥AF，AD⊥B₁F；
（Ⅱ）證明∠CDF為二面角F-AD-C的平面角，即可求出求二面角F-AD-C的正切值；
（Ⅲ）當(dāng)AE=2a時(shí)，BE∥平面ADF，再進(jìn)行證明即可．

解答： （I）證明：由ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱和CF=2a，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，得B1F=

B1C12+C1F2

=

5

a，AF=

AC2+CF2

=

13

a，
AB1=

AB2+BB12

=

18

a，得AB12=AF2+B1F2
所以B₁F⊥AF，…（2分）
由CC₁⊥面ABC，AD?面ABC，得CC₁⊥AD，
由AB=AC及D是BC的中點(diǎn)得：AD⊥BC，
而CC₁⊥AD，BC∩CC₁=C，
所以AD⊥面BCC₁B₁，
又BF₁?面BCC₁B₁，
所以AD⊥B₁F…（2分）
又B₁F⊥AF，AF∩AD=A，
所以B₁F⊥平面ADF；…（5分）
（Ⅱ）解：由（I）AD⊥面BCC₁B₁，而CD?面BCC₁B₁、DF?面BCC₁B₁，
所以AD⊥CD、AD⊥DF
所以∠CDF為二面角F-AD-C的平面角     …（8分）
由直三棱柱可知：∠DCF為直角，所以tan∠CDF=

FC

CD

=

2a

a

=2…（10分）
（Ⅲ）解：當(dāng)AE=2a時(shí)，BE∥平面ADF，
證明如下：連結(jié)EF、EC交AF于點(diǎn)M，
由AE=2a=CF，及AE∥CF可得：四邊形ACFE為平行四邊形．
所以M為EC中點(diǎn)，
又D是BC的中點(diǎn)，
所以BE∥DM，…（13分）
又BE?平面ADF，DM?平面ADF
所以BE∥平面ADF，命題得證．                                …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．