Question

已知sinx+siny=

1

3

，求siny-cos²x的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：由題意得siny=

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3

-sinx且siny=

1

3

-sinx∈[-1，1]，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答： 解：由已知條件有siny=

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3

-sinx且siny=

1

3

-sinx∈[-1，1]（結(jié)合sinx∈[-1，1]）
得-

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≤sinx≤1，
而siny-cos²x=

1

3

-sinx-cos²x═sin2x-sinx-

2

3

令t=sinx(-

2

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≤t≤1)，則原式=t2-t-

2

3

(-

2

3

≤t≤1)
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)t=-

2

3

即sinx=-

2

3

時(shí)，原式取得最大值

4

9

．

點(diǎn)評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的性質(zhì)，求sinx的取值范圍是易錯(cuò)點(diǎn)．