Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y-3=0垂直．
（1）求實數(shù)a、b的值
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關于a，b的一個等式；求出導函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間，據(jù)題意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端點的大小，求出m的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點M（1，4），∴a+b①
又f'（x）=3ax²+2bx，則f'（1）=3a+2b，由條件知f'（1）=9，
即 3a+2b②
由①、②解得

a=1 b=3

（2）f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x，
令f′（x）=3x²+6x≥0，得x≥0，或x≤-2，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調遞增，則[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），
∴m≥0，或m+1≤-2，即m≥0，或m≤-3，
∴m的取值范圍是（-∞，-3]∪[0，+∞）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查導數(shù)的幾何意義，考查方程思想與集合的包含關系，考查分析運算能力，屬于中檔題．