Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，過橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1內(nèi)一點P（1，1）的一條直線與橢圓交于點A，C，且

AP

=λ

PC

，其中λ為常數(shù)．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）當點C恰為橢圓的右頂點時，試確定對應λ的值；
（3）當λ=1時，求直線AC的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）因為a²=4，b²=3，由此能求出離心率．
（2）因為C（2，0），所以直線PC的方程為y=-x+2，由

y=-x+2 x2 4 + y2 3 =1

，能求出λ=

5

7

．
（3）

AP

=

PC

，設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用點差法能求出kAC=-

3

4

．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）因為a²=4，b²=3，
所以c²=1，即a=2，c=1，
所以離心率e=

c

a

=

1

2

．（4分）
（2）因為C（2，0），所以直線PC的方程為y=-x+2，…（6分）
由

y=-x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得A(

2

7

，

12

7

)，…（8分）
代入

AP

=λ

PC

中，得λ=

5

7

．…（10分）
（3）因為λ=1，所以

AP

=

PC

，
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，…（12分）
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
兩式相減，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
即

x1-x2

4

+

y1-y2

3

=0，
從而

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，即kAC=-

3

4

．…（16分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查實數(shù)的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．