Question

已知拋物線y²=4

2

x的焦點為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的動點
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點P滿足：

OP

=

OM

+2

ON

，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，證明：存在定點F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值，并求出F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；
（3）若M在第一象限，且點M，N關(guān)于原點對稱，MA垂直于x軸于點A，連接NA 并延長交橢圓于點B，記直線MN，MB的斜率分別為k_MN，k_MB，證明：k_MN•k_MB+1=0．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線y²=4

2

x的焦點為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的長軸長為4，求出a，b，即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將

OP

=

OM

+2

ON

坐標(biāo)化，利用直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，可計算x²+2y²=20，從而可知存在兩個定點F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A（x₁，0），N（-x₁，-y₁），由題設(shè)可知l_AB斜率存在且滿足k_NA=k_NB，即可證明k_MN•k_MB+1=0．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=4

2

x的焦點為（

2

，0），…（1分）
∴橢圓中的c=

2

，
又由橢圓的長軸為4得a=2，
∴b²=a²-c²=2          …（2分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

2

=1…（3分）
（2）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ），
由

OP

=

OM

+2

ON

，可得：（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，…（4分）
∵M(jìn)、N是橢圓上的點，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）．
由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，可得：

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，即

x2

20

+

y2

10

=1…（7分）
由橢圓定義可知存在兩個定點F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)，使得動點P到兩定點距離和為定值4

5

；…（8分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設(shè)可知x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁），…（9分）
由題設(shè)可知l_AB斜率存在且滿足k_NA=k_NB，
∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

．…（10分）
∴k_MN•k_MB+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

(x22+2y22)-(x12+2y12)

x22-x12

…（12分）
∵點M，B在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1，
∴k_MN•k_MB+1=0    …（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問題的探求，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生運(yùn)算、分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．