Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的圖象在x=1處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求證：f′（

x1+x2

2

）＜0（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、最值，數(shù)形結(jié)合即可得出；
（III）由于f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），可得方程2lnx-x²+ax=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，得到a=(x1+x2)-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

．可得f′(

x1+x2

2

)=

4

x1+x2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

．經(jīng)過(guò)變形只要證明

2(x2-x1)

x1+x2

+ln

x1

x2

＜0，通過(guò)換元再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2lnx-x²+2x，f′(x)=

2

x

-2x+2，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
切線(xiàn)的斜率k=f′（1）=2，
∴切線(xiàn)方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x²+m，則g′(x)=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，故g′（x）=0時(shí)，x=1．
當(dāng)

1

e

＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，g′（x）＜0．
故g（x）在x=1處取得極大值g（1）=m-1．
又g(

1

e

)=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，
g(e)-g(

1

e

)=4-e2+

1

e2

＜0，∴g(e)＜g(

1

e

)，
∴g（x）在[

1

e

，e]上的最小值是g（e）．
g（x）在[

1

e

，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2 ≤0

解得1＜m≤2+

1

e2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，2+

1

e2

]．
（Ⅲ）∵f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴方程2lnx-x²+ax=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，則

2lnx1- x 2 1 +ax1=0 2lnx2- x 2 2 +ax2=0

兩式相減得a=(x1+x2)-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

．
又f（x）=2lnx-x²+ax，f′(x)=

2

x

-2x+a，
則f′(

x1+x2

2

)=

4

x1+x2

-(x1+x2)+a=

4

x1+x2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

．
下證

4

x1+x2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＜0（*），即證明

2(x2-x1)

x1+x2

+ln

x1

x2

＜0，
令t=

x1

x2

，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即證明u(t)=

2(1-t)

t+1

+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′(t)=

-2(t+1)-2(1-t)

(t+1)2

+

1

t

=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
又0＜t＜1，
∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，則u（t）＜u（1）=0，從而知

2(x2-x1)

x1+x2

+ln

x1

x2

＜0，
故（*）式＜0，即f′(

x1+x2

2

)＜0成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線(xiàn)的方程、方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．