Question

設(shè)f（x）=|lgx|，a，b為實數(shù)，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b滿足f（a）=f（b），求證：①a•b=1；②

a+b

2

＞1．

Answer 1

考點：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=1得，lgx=±1，由此能求出f（x）=1的解．
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，由f（a）=f（b）得到ab=1，由此利用定義法能證明

a+b

2

＞1．

解答： （1）解：∵f（x）=|lgx|，
∴由f（x）=1得，lgx=±1，
∴x=10或x=

1

10

．…（4分）
（2）證明：結(jié)合函數(shù)圖象，
∵a，b為實數(shù)，且0＜a＜b，
∴由f（a）=f（b）可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），…（6分）
從而-lga=lgb，從而ab=1        …（8分）
又

a+b

2

=

1 b +b

2

，…（9分）
令ϕ(b)=

1

b

+b(b∈(1，+∞)）
任取1＜b₁＜b₂，∵ϕ(b1)-ϕ(b2)=…=(b1-b2)(1-

1

b1b2

)＜0，
∴ϕ（b₁）＜ϕ（b₂），∴ϕ（b）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
∴ϕ（b）＞ϕ（1）=2．…（10分）
∴

a+b

2

＞1．…（12分）

點評：本題考查方程的解法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合法的合理運(yùn)用．