Question

如圖：AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：CF=BF；
（Ⅱ）若AD=4，⊙O的半徑為6，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）法一：連接CO交BD于點(diǎn)M，由已知條件推導(dǎo)出Rt△CEO≌Rt△BMO，由此能證明CF=BF．
（Ⅰ）法二：延長(zhǎng)CE 交圓O于點(diǎn)N，連接BN，由已知條件推導(dǎo)出∠CBD=∠CNB，由此能證明CF=BF．
（Ⅱ）由O，M分別為AB，BD的中點(diǎn)，得到EB，由此以求出BC．

解答： （Ⅰ）證法一：連接CO交BD于點(diǎn)M，如圖1…（1分）
∵C為弧BD的中點(diǎn)，∴OC⊥BD
又∵OC=OB，∴Rt△CEO≌Rt△BMO…（2分）
∴∠OCE=∠OBM…（3分）
又∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC…（4分）
∴∠FBC=∠FCB，∴CF=BF…（5分）
（Ⅰ）證法二：延長(zhǎng)CE 交圓O于點(diǎn)N，連接BN，如圖2…（1分）
∵AB是直徑且CN⊥AB于點(diǎn)E
∴∠NCB=∠CNB…（2分）
又∵弧CD=弧BC，∴∠CBD=∠CNB…（3分）
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…（4分）
∴CF=BF…（5分）
（Ⅱ）∵O，M分別為AB，BD的中點(diǎn)
∴OM=2=OE
∴EB=4…（7分）
在Rt△COE中，CE=

OC2-OE2

=4

2

…（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=

CE2+BE2

=4

3

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段相等的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．