Question

已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f（x）的最小值為0，且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）的圖象被f（x）的圖象截得的弦長(zhǎng)為4

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，數(shù)列{a_n}滿足a=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n），求數(shù)列的{b_n}的最值及相應(yīng)的n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,函數(shù)解析式的求解及常用方法,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用直線g（x）=4（x-1）的圖象被f（x）的圖象截得的弦長(zhǎng)為4

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，建立方程，即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)f（x）和g（x）的解析式化簡(jiǎn)，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0再用構(gòu)造法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）根據(jù)f（x）和g（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)b_n，再用二次函數(shù)求極值的方法求出數(shù)列{b_n}的最值及相應(yīng)的n．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與y=f（x）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0），（

4

a

+1，

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a

）
∵

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

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（a＞0）
∴a=1，f（x）=（x-1）²；
（2）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0
∴a_n+1-1=

3

4

（a_n-1），a₁-1=1
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為1，公比為

3

4

的等比數(shù)列
∴a_n-1=（

3

4

）^n-1，a_n=（

3

4

）^n-1+1；
（3）b_n=3f（a_n）-g（a_n）=3[（

3

4

）^n-1]²-4[（

3

4

）^n-1]，
令t=（

3

4

）^n-1，則y=3t²-4t=3(t-

2

3

)2-

4

3

∵n∈N^*，
∴t的值分別為1，

3

4

，

9

16

，經(jīng)比較

3

4

比較接近

2

3

∴當(dāng)n=2時(shí)，b_n有最小值是-

21

16

，當(dāng)n=1時(shí)，b_n有最大值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列知識(shí)，考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．