Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a=

1

2

，判斷{

1

Sn

}與{a_n}是否為等差數(shù)列，并說明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用已知可得S_n≠0．利用滿足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，（*）．
（*）可化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，可得{

1

Sn

}是以

1

a1

=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．進(jìn)而得到Sn=

1

2n

．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

即可判斷出{a_n}不是等差數(shù)列．

解答： 解：∵滿足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，（*）
假設(shè)S_n=0，可得S_n-1=0，于是S_n=0對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，而a1=

1

2

≠0，得出矛盾，故S_n≠0．
∴（*）可化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}是以

1

a1

=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，得到Sn=

1

2n

．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

不為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握a_n與S_n的關(guān)系、等差數(shù)列的定義是解題的關(guān)鍵．