Question

下列說法：其中正確的個數(shù)是

 

．
①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③對于函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，則有當a=1時，?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①利用命題的否定即可判斷出；
②令sin²x=t∈（0，1]，f（t）=t+

2

t

．求出f（t）的最小值即可；
③對于函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，當a=1時，假設(shè)k∈（1，+∞），則g（x）=

x

1+|x|

-kx為R上的奇函數(shù)．利用奇函數(shù)的性質(zhì)和導數(shù)研究g（x）在x＞0時的單調(diào)性即可．

解答： 解：①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，正確；
②令sin²x=t∈（0，1]，f（t）=t+

2

t

．
則關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立?a＜f（t）_min．
由f′(t)=1-

2

t2

=

t2-2

t2

＜0，可知函數(shù)f（t）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（t）_min=f（1）=3．
∴a的取值范圍是a＜3．
因此正確．
③對于函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，當a=1時，假設(shè)k∈（1，+∞），
則g（x）=

x

1+|x|

-kx為R上的奇函數(shù)．
當x=0時，g（0）=0，可知0是函數(shù)g（x）的一個零點．
當x＞0時，g（x）=

x

1+x

-kx，則g′(x)=

1

(1+x)2

-k＜0，
∴函數(shù)g（x）在0，+∞）上單調(diào)遞減，又函數(shù)g（x）在x=0處連續(xù)，∴g（x）＜g（0）=0．
∴當x＞0時，函數(shù)g（x）不存在零點．
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知：當x＜0時，函數(shù)g（x）也不存在零點．
綜上可知：函數(shù)g（x）有且僅有一個零點．
因此③不正確．
綜上可知：只有①②正確．
故答案為：2．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點、最小值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．