下列說法:其中正確的個(gè)數(shù)是
 

①命題“?x∈R,2x≤0”的否定是“?x∈R,2x>0”;
②關(guān)于x的不等式a<sin2x+
2
sin2x
恒成立,則a的取值范圍是a<3;
③對(duì)于函數(shù)f(x)=
ax
1+|x|
(a∈R且a≠0)
,則有當(dāng)a=1時(shí),?k∈(1,+∞),使得函數(shù)g(x)=f(x)-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn).
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:①利用命題的否定即可判斷出;
②令sin2x=t∈(0,1],f(t)=t+
2
t
.求出f(t)的最小值即可;
③對(duì)于函數(shù)f(x)=
ax
1+|x|
(a∈R且a≠0)
,當(dāng)a=1時(shí),假設(shè)k∈(1,+∞),則g(x)=
x
1+|x|
-kx
為R上的奇函數(shù).利用奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)研究g(x)在x>0時(shí)的單調(diào)性即可.
解答: 解:①命題“?x∈R,2x≤0”的否定是“?x∈R,2x>0”,正確;
②令sin2x=t∈(0,1],f(t)=t+
2
t

則關(guān)于x的不等式a<sin2x+
2
sin2x
恒成立?a<f(t)min
f(t)=1-
2
t2
=
t2-2
t2
<0
,可知函數(shù)f(t)在(0,1]上單調(diào)遞減,
∴f(t)min=f(1)=3.
∴a的取值范圍是a<3.
因此正確.
③對(duì)于函數(shù)f(x)=
ax
1+|x|
(a∈R且a≠0)
,當(dāng)a=1時(shí),假設(shè)k∈(1,+∞),
則g(x)=
x
1+|x|
-kx
為R上的奇函數(shù).
當(dāng)x=0時(shí),g(0)=0,可知0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)x>0時(shí),g(x)=
x
1+x
-kx
,則g(x)=
1
(1+x)2
-k
<0,
∴函數(shù)g(x)在0,+∞)上單調(diào)遞減,又函數(shù)g(x)在x=0處連續(xù),∴g(x)<g(0)=0.
∴當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn).
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)g(x)也不存在零點(diǎn).
綜上可知:函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
因此③不正確.
綜上可知:只有①②正確.
故答案為:2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,考查了分析問題和解決問題的能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線:
sinθ
a
x+
cosθ
b
y=1(a,b為給定的正常數(shù),θ為參數(shù),θ∈[0,2π))構(gòu)成的集合為S,給出下列命題:
①當(dāng)θ=
π
4
時(shí),S中直線的斜率為
b
a
;
②S中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn);
③當(dāng)a=b時(shí),存在某個(gè)定點(diǎn),該定點(diǎn)到S中的所有直線的距離均相等;
④當(dāng)a>b時(shí),S中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b;
⑤S中的所有直線可覆蓋整個(gè)平面.
其中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號(hào)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記max{a,b}為a和b兩數(shù)中的較大數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)的定義域都是R,則“f(x)和g(x)都是偶函數(shù)”是“函數(shù)F(x)=max{f(x),g(x)}為偶函數(shù)”的
 
條件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中選填一個(gè))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)
的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象作兩次變換得到,第一次變換是針對(duì)函數(shù)y=sinx的圖象而言的,第二次變換是針對(duì)第一次變換所得圖象而言的.現(xiàn)給出下列四個(gè)變換:
A.圖象上所有點(diǎn)向右平移
π
6
個(gè)單位;
B.圖象上所有點(diǎn)向右平移
π
3
個(gè)單位;
C.圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變);
D.圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="hnjjv1d" class="MathJye">
1
2
倍(縱坐標(biāo)不變).
請(qǐng)按順序?qū)懗鰞纱巫儞Q的代表字母:
 
.(只要填寫一組)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1),點(diǎn)N(x,y)的坐標(biāo)x,y滿足
x+2y-3≤0
x+3y-3≥0
y≤1
,則
OM
ON
<0的概率為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,定點(diǎn)M(1,0),兩動(dòng)點(diǎn)A,B在雙曲線x2-3y2=3的右支上,則cos∠AMB的最小值是( 。
A、-
1
2
B、
1
2
C、-
1
3
D、
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在等腰直角三角形ABC中,在斜邊AB上找一點(diǎn)M,則AM<AC的概率為( 。
A、
2
2
B、
3
4
C、
2
3
D、
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個(gè)命題中,正確的是( 。
A、△ABC為直角三角形的充要條件是
AB
AC
=0
B、若
OP
=
1
2
OA
+
1
3
OB
,則P、A、B三點(diǎn)共線
C、若{
a
,
b
,
c
}
為空間的一個(gè)基底,則{
a
+
b
,
b
+
c
c
+
a
}
也構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D、|(
a
b
)•
c
|=|
a
|•|
b
|•|
c
|

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為
10

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案