Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•log₂a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用“n=1，a₁=S₁；n≥2，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n與a_n-1的關(guān)系，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）
即：

an

an-1

=2，∴數(shù)列{a_n}為以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n．
（Ⅱ）∵bn=2n•log22n+1=(n+1)•2n，
∴

Tn=2×2+3×22+…+n•2n-1+(n+1)•2n 2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+(n+1)•2n+1

兩式相減，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=-n•2n+1，
∴Tn=n•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用“n=1，a₁=S₁；n≥2，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．