Question

已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，且2bcosC=2a-c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2

3

，求a+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，將sinA=sin（B+C）代入利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用基本不等式求出a+c的最大值，再利用三角形三邊之和大于第三邊求出a+c的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡得：2sinBcosC=2sinA-sinC，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，即sinC（2cosB-1）=0，
∵C為三角形的內(nèi)角，∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，即cosB=

1

2

，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=

π

3

，又b=

3

，
∴由余弦定理得a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=12，
∴（a+c）²-12=3ac≤3（

a+c

2

）²，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取”=”，
∴（a+c）²≤48，即a+c≤4

3

，
又a，b，c是三角形的三邊，a+c＞2

3

，
則a+b∈（2

3

，4

3

]．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．