Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R）
（1）當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（sinx）（x∈R）的最大值為

5

4

，求f（x）的最小值；
（2）對(duì)于任意的x∈R，總有f（sinxcosx）≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過0＜a＜

1

2

，求出函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍，利用正弦函數(shù)的最大值，求解f（sinx）（x∈R）的最大值為

5

4

，推出a的值，利用二次函數(shù)的最值，求f（x）的最小值；
（2）令t=sinxcosx，轉(zhuǎn)化函數(shù)為t的二次函數(shù)，通過t 的范圍求解a的取值范圍．

解答： 解：（1）由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1，
故當(dāng)sinx=1時(shí)f（sinx）取得最大值

5

4

，
即f（1）=a+1=

5

4

，所以a=

1

4

，
所以f（x）=

1

4

x²+x=

1

4

（x+2）²-1，
所以f（x）的最小值為-1．
（2）對(duì)于任意的x∈R，總有f（sinxcosx）≤1，
令t=sinxcosx=

1

2

sin2x∈[-

1

2

，

1

2

]，
則命題轉(zhuǎn)化為：任給t∈[-

1

2

，

1

2

]，不等式f（t）≤1，
當(dāng)t=0時(shí)，f（t）=0滿足f（t）≤；
當(dāng)t≠0時(shí)，有a≤

1

t2

-

1

t

=（

1

t

-

1

2

）²-

1

4

對(duì)于任意的t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]恒成立；
由t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]得

1

t

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
所以（

1

t

-

1

2

）²-

1

4

≥2，
所以要使a≤

1

t2

-

1

t

恒成立，則有a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的單調(diào)性，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．