Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R）
（1）當0＜a＜

1

2

時，f（sinx）（x∈R）的最大值為

5

4

，求f（x）的最小值；
（2）對于任意的x∈R，總有f（sinxcosx）≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質

專題：分類討論,轉化思想,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）通過0＜a＜

1

2

，求出函數(shù)的對稱軸的范圍，利用正弦函數(shù)的最大值，求解f（sinx）（x∈R）的最大值為

5

4

，推出a的值，利用二次函數(shù)的最值，求f（x）的最小值；
（2）令t=sinxcosx，轉化函數(shù)為t的二次函數(shù)，通過t 的范圍求解a的取值范圍．

解答： 解：（1）由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1，
故當sinx=1時f（sinx）取得最大值

5

4

，
即f（1）=a+1=

5

4

，所以a=

1

4

，
所以f（x）=

1

4

x²+x=

1

4

（x+2）²-1，
所以f（x）的最小值為-1．
（2）對于任意的x∈R，總有f（sinxcosx）≤1，
令t=sinxcosx=

1

2

sin2x∈[-

1

2

，

1

2

]，
則命題轉化為：任給t∈[-

1

2

，

1

2

]，不等式f（t）≤1，
當t=0時，f（t）=0滿足f（t）≤；
當t≠0時，有a≤

1

t2

-

1

t

=（

1

t

-

1

2

）²-

1

4

對于任意的t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]恒成立；
由t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]得

1

t

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
所以（

1

t

-

1

2

）²-

1

4

≥2，
所以要使a≤

1

t2

-

1

t

恒成立，則有a≤2．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的單調性，分類討論以及轉化思想的應用，考查計算能力．