Question

已知定點(diǎn)F₁（-

3

，0），F2(

3

，0)，曲線C是使|RF₁|+|RF₂|為定值的點(diǎn)R的軌跡，曲線C過點(diǎn)T（0，1）．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)F₂，且與曲線C交于PQ，當(dāng)△F₁PQ的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF₁、PF₂，設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交曲線C的長軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|RF₁|+|RF₂|=|TF₁|+|TF₂|≥2

3

，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線l為x=my+

3

，代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，得(4+m2)y2+2

3

my-1=0，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．
（3）由題意知

PF1 • PM

| PF1 || PM |

=

PF2 • PM

| PF2 || PM |

，

PF1 • PM

| PF1 |

=

PF2 • PM

| PF2 |

，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵定點(diǎn)F₁（-

3

，0），F2(

3

，0)，
曲線C是使|RF₁|+|RF₂|為定值的點(diǎn)R的軌跡，
曲線C過點(diǎn)T（0，1）．
∴|RF₁|+|RF₂|=|TF₁|+|TF₂|
=2

( 3 )2+1

=4＞|F1F2|=2

3

，（2分）
∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)其長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，
則2c=2

3

，∴a=2，c=

3

，b=1，
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）設(shè)直線l為x=my+

3

，代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，
得(4+m2)y2+2

3

my-1=0，
△=12m²+16（m+m²）＞0，
設(shè)P（x₃，y₃），得

y3+y4=- 2 3 m 4+m2 y3y4=- 1 4+m2

，
∴|PQ|=

(x3-x4)2+(y3-y4)

=

(1+m)2[(y3+y4)2-4y3y4]

=

4(1+m2)

4+m2

，
F₁到直線l的距離d=

2 3

1+m2

，
設(shè)t=

1+m2

，則t≥1，
∴S△F₁PQ=

1

2

|PQ|d=4

3

×

1+m2

4+m2

=

4 3 t

t2+3

=

4 3

t+ 3 t

≤2．
當(dāng)t²=3，即m²=2，m=±2時(shí)，面積最大，
∴△F₁PQ的面積取得最大值時(shí)，
直線l的方程為：x+

2

y-

3

=0和x-

2

y-

3

=0．（9分）
（3）由題意可知：

PF1 • PM

| PF1 || PM |

=

PF2 • PM

| PF2 || PM |

，

PF1 • PM

| PF1 |

=

PF2 • PM

| PF2 |

，（10分）
設(shè)P（x₀，y₀）其中x02≠4，
將向量坐標(biāo)代入并化簡，得：
m（4x02-16）=3x02-12x0，（12分）
∵x02≠4，∴m=

3

4

x0，（13分）
∵x₀∈（-2，2），∴m∈（-

3

2

，

3

2

）．（14分）

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積最大時(shí)直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．