Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n+1，n∈N^*，且b₁=3
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且c_n=

1

an•log2(bn+1)

，證明：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用裂項(xiàng)相消法化簡，由其結(jié)果可得證．

解答： （1）解：設(shè)公差為d≠0，
∵a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴a₁+2d=6，且（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），
解得a₁=2，d=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2+（n-1）×2=2n；
∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∵b₁=3，
∴數(shù)列{b_n+1}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2ⁿ⁺¹-1；
（2）證明：c_n=

1

an•log2(bn+1)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

，
∴S_n＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查裂項(xiàng)相消法對數(shù)列求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是中檔題．