Question

若有窮數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i是正整數(shù)，且1≤i≤n）就稱數(shù)列{a_n}為對(duì)稱數(shù)列．
（1）已知數(shù)列{b_n}是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列，b₁=2，b₄=11，試寫出數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)；
（2）已知數(shù)列{c_n}是項(xiàng)數(shù)為2k-1（k＞1）的對(duì)稱數(shù)列，且c_k，c_k+1，c_k+2，…，c_2k-1構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)列{c_n}的前2k-1項(xiàng)和為s_2k-1，問k為何值時(shí)s_2k-1取得最大值，最大值為多少？
（3）對(duì)于給定的正整數(shù)m＞1，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的對(duì)稱數(shù)列，使得1、3、5、…、2m-1成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)，當(dāng)m≥1500時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2014項(xiàng)和s₂₀₁₄．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){b_n}的公差為d，由b₁，b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列求解d從而求得數(shù)列{b_n}，
（2）先得到S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，用二次函數(shù)求解，
（3）按照1，3，5…，2m-1是數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)按照定義，用組合的方式寫出來所有可能的數(shù)列，再按其數(shù)列的規(guī)律求前n項(xiàng)和取符合條件的一組即可．

解答： 解：（1）設(shè){b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴數(shù)列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k，
∴S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴當(dāng)k=13時(shí)，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為626．
（3）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是：
①1，3，5，…，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
②1，3，5，…，2m-1，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
③2m-1，2m-3，…，5，3，1，3，5，…，2m-3，2m-1；
④2m-1，2m-3，…，5，3，1，1，3，5，…，2m-3，2m-1．
對(duì)于①，當(dāng)m≥2014時(shí)，S₂₀₁₄=1+3+5+…+（2×2014-1）=2014²．
當(dāng)1500≤m≤2013時(shí)，S₂₀₁₄=1+3+…+（2m-1）+（2m-3）+…+（4m-4029）=m²+

(2014-m)[(2m-3)+(4m-4029)]

2

=m²+（2014-m）（3m-2016）．
對(duì)于②，當(dāng)m≥2014時(shí)，S₂₀₁₄=2014²．
當(dāng)1500≤m≤2013時(shí)，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）（3m-2014）．
對(duì)于③，當(dāng)m≥2014時(shí)，S₂₀₁₄=4028m-2014²．
當(dāng)1500≤m≤2013時(shí)，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）（2016-m）．
對(duì)于④，當(dāng)m≥2014時(shí)，S₂₀₁₄=4028m-2014²．
當(dāng)1500≤m≤2013時(shí)，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）²．

點(diǎn)評(píng)：本題一道新定義題，這樣的題做法是嚴(yán)格按照定義要求，將其轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)和方法去解決，本題涉及到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和，構(gòu)造數(shù)列等知識(shí)．