Question

13．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再將所得圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由圖可求周期，即可求ω，由Acos（$\frac{3π}{4}$+φ）=0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，由Acos（$\frac{π}{6}×3-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可解得A，解得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象變換規(guī)律可求g（x）=2sin$\frac{3}{2}$x，由x∈[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]，$\frac{3}{2}$x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，即可解得函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]上的值域．

解答 解：（1）周期T=4×（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{3}$，即ω=3；
∵Acos（$\frac{3π}{4}$+φ）=0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∵（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{2}$）在函數(shù)圖象上，可得：Acos（$\frac{π}{6}×3-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，解得：A=2．
∴f（x）=2cos（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）將f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍可得：y=2cos（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
再將所得圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位可得y=g（x）=2cos（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{2}$）=2sin$\frac{3}{2}$x，
∵x∈[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]，$\frac{3}{2}$x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
∴g（x）=2sin$\frac{3}{2}$x∈[-2，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根據(jù)圖象求正弦型函數(shù)解析式；三角函數(shù)的周期、相位變換，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．