Question

如圖，已知四邊形ABCD和ABEF均為矩形，BC=BE=

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2

AB，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，BM⊥AD．
（Ⅰ）求證：BM⊥DM；
（Ⅱ）求二面角F-DM-A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì),用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定證明BM⊥平面ADM即可；．
（Ⅱ）由AD、AB、AF兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F-DM-A的大小．

解答： （Ⅰ）證明：在矩形ABEF中，BC=BE=

1

2

AB，
點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，∴BM⊥AM，
∵BM⊥AD，BM⊥AM，AM∩AD=A，
∴BM⊥平面ADM，
∵DM?平面ADM，
∴BM⊥DM．
（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥AD，
∵AB⊥AD，BM⊥AD，AB∩BM=B，
∴AD⊥平面ABM，
∴AD、AB、AF兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BC=BE=1，AB=2，
則D（1，0，0，）F（0，0，1），M（0，1，1），A（0，0，0），

DF

=(-1，0，1)，

DM

=(-1，1，1)，

AM

=(0，1，1)，
設(shè)平面FDM的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DF =-x+z=0 n • DM =-x+y+z=0

，取x=1，得

n

=(1，0，1)，
設(shè)平面DMA的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • DM =-a+b+c=0 m • AM =b+c=0

，取b=1，得

m

=(0，1，-1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=0，
∴二面角F-DM-A的大小為

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，考查二面角的大小的求法，屬于中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．