Question

數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=log₂b_n+3，
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₆，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得b₁=1，b₃=4，由此能求出bn=2n-1，從而得到a_n=log₂b_n+3=log22n-1+3=n+2．
（Ⅱ）由{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，知a₁²+a₂+a₃+…+a_m=3²+m×3+

m(m-1)

2

×1-3，由此能求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

b1b3=4 b1+b3=5

，知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，
注意到b_n+1＞b_n，得b₁=1，b₃=4．…（2分）
∴b22=b1b3=4，得b₂=2．
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比為

b2

b1

=2，
∴bn=2n-1，…（4分）
a_n=log₂b_n+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，
∴a₁²+a₂+a₃+…+a_m=a₁²+a₁+a₂+a₃+…+a_m-a₁
=3²+m×3+

m(m-1)

2

×1-3
=6+3m+

m2-m

2

．…（11分）
∵a₄₆=48，
∴6+3m+

m2-m

2

≤48，整理得m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．…（12分）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．