Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且EF=

1

2

BD
（1）求證：BF∥平面ACE；
（2）求二面角B-AF-C的大�。�
（3）求點(diǎn)F到平面ACE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，則可證出四邊形EFBO是平行四邊形，從而BF∥EO，最后結(jié)合線面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（2）證明BO⊥面ACF，過點(diǎn)O作OG⊥AF于點(diǎn)G，連接GB，則∠OGB為二面角B-AF-C的平面角，則可求；
（3）點(diǎn)F到平面ACE的距離等于點(diǎn)B到平面ACE的距離，也等于點(diǎn)D到平面ACE的距離，該距離就是Rt△EDO斜邊上的高．

解答： （1）證明：記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，則四邊形EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE； 
（2）解：∵ABCD為正方形，∴BO⊥AC，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EFOD為平行四邊形，
∴ED∥OF，OF⊥面ABCD，
∴OF⊥BO，
∵AC∩OF=O，
∴BO⊥面ACF，
過點(diǎn)O作OG⊥AF于點(diǎn)G，連接GB，則∠OGB為二面角B-AF-C的平面角．
在Rt△FOA中，可求得OG=

FO•AO

AF

=

6

3

，
∵OB=

2

，
∴tan∠OGB=

3

，
∴∠OGB=

π

3

，
∴二面角B-AF-C的大小為

π

3

；
（3）解：點(diǎn)F到平面ACE的距離等于點(diǎn)B到平面ACE的距離，也等于點(diǎn)D到平面ACE的距離，
該距離就是Rt△EDO斜邊上的高，即

DE•DO

OE

=

1× 2

3

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊多面體為例，要我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了線面平行的判定定理和面面垂直的判定理等知識(shí)，屬于中檔題．