如圖，四棱錐S-ABCD中，ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=
3
AD．E為CD上一點(diǎn)，且CE=3DE．
（1）求證：AE⊥平面SBD；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定
專題：空間角
分析：（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能證明AE⊥平面SBD．
（2）分別求出平面SBD的一個(gè)法向量和平面SAB的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
解答： （1）證明：由題意知DS，DA，DC兩兩垂直，
∴以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示．
則：D（0，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C(0，0，2a)，E(0，0，
a
2
)，S(
3
a，0，0)．
DS
=(
3
a，0，0)，
DB
=(0，a，2a)，
AE
=(0，-a，
a
2
)，
∵
AE
•
DS
=0+0+0=0
AE
•
DB
=0-a2+a2=0.

∴AE⊥DS，AE⊥DB，又DS∩DB=D，
∴AE⊥平面SBD．…（7分）
（2）由（1）知
n
=
AE
=(0，-a，
a
2
)為平面SBD的一個(gè)法向量．
又∵
AB
=(0，0，2a)，
SA
=(-
3
a，a，0)，
設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為m=（x，y，z），
則
m•
AB
=0
m•
SA
=0
，即
2az=0
-
3
ax+ay=0
，
取x=1，得
m
=(1，
3
，0)，…（12分）
∴cos＜
m
，
n
＞=
-
3
a
4
•
(-a)2+(
a
2
)2
=-
15
5
．
 觀察知二面角A-SD-B為銳角，
∴所求的二面角的余弦值為
15
5
．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），如果對(duì)于區(qū)間[a，b]中的任意數(shù)x均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上是密切函數(shù)，[a，b]稱為密切區(qū)間．若m（x）=x2-3x+4與n（x）=2x-3在某個(gè)區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個(gè)密切區(qū)間可能是（　�。�
A、[3，4]
B、[2，4]
C、[1，4]
D、[2，3]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由-1，0，1，2，3這五個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)組成二次函數(shù)y=a2x+bx+c的系數(shù)．
（1）開口向下的拋物線有幾條？
（2）開口向上且不過原點(diǎn)的拋物線有多少條？
（3）與x軸的正、負(fù)半軸各有一個(gè)交點(diǎn)的拋物線有多少條？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在隨機(jī)抽查某中學(xué)高二級(jí)140名學(xué)生是否暈機(jī)的情況中，已知男學(xué)生56人，其中暈機(jī)有28人；女學(xué)生中不會(huì)暈機(jī)的為56人．不會(huì)暈機(jī)的男學(xué)生中有2人成績優(yōu)秀，不會(huì)暈機(jī)的女生中有4人成績優(yōu)秀．
（1）完成下面2×2列聯(lián)表的空白處；
暈機(jī) 不會(huì)暈機(jī) 合計(jì)
男學(xué)生 28 56
女學(xué)生 56
合計(jì) 140
（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為是否暈機(jī)與性別有關(guān)系？（k保留三位小數(shù)）
（3）若從不會(huì)暈機(jī)的6名成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人去國外參加數(shù)學(xué)競賽，試求所抽取的2人中恰有一人是男學(xué)生、一人是女學(xué)生的概率．（4分）
注：①參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
②常用數(shù)據(jù)表如下：
P（K2≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且EF=
1
2
BD
（1）求證：BF∥平面ACE；
（2）求二面角B-AF-C的大�。�
（3）求點(diǎn)F到平面ACE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知p：直線x-2y+3=0與拋物線y2=ax（a＞0）沒有交點(diǎn)；q：方程
x2
4-a
+
y2
a-1
=1表示橢圓；若p∧q為真命題，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M（x1，y1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為e，試用e、a、x1表示|MF|，并求|MF|的最值；
（2）已知直線m與圓x2+y2=b2相切，并與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且直線m與圓的切點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)，若a=2，b=1，求△ABF的周長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

南昌二中某學(xué)生社團(tuán)為了選拔若干名社團(tuán)義務(wù)宣傳員，從300名志愿者中隨機(jī)抽取了50名進(jìn)行有關(guān)知識(shí)的測試，成績（均為整數(shù)）按分?jǐn)?shù)段分成六組：第一組[40，50），第二組[50，60），…，第六組[90，100]，第一、二、三組的人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．規(guī)定成績不低于66分的志愿者入選為義務(wù)宣傳員．
（1）求第二組、第三組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；
（2）由所抽取志愿者的成績分布，估計(jì)該社團(tuán)的300名志愿者中有多少人可以入選為義務(wù)宣傳員？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖銳角三角形ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E，若△ABC面積S=
3
4
AD•AE，求∠BAC的大�。�

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