Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對任意的正整數(shù)n，都有（1-a_n+1）（2+a_n）=2，且a_n≠0．
（Ⅰ）求證：{

1

an

+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

n

an

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明{

1

an

+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求數(shù)列{

n

an

}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）∵（1-a_n+1）（2+a_n）=2，
∴a_n-2a_n+1-a_na_n+1=0，
即

1

an+1

-

2

an

=1，
即

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
又

1

a1

+1=2，
∴{

1

an

+1}是首項為2，公比q=2的等比數(shù)列；
（Ⅱ）∵{

1

an

+1}是首項為2，公比q=2的等比數(shù)列；
∴

1

an

+1=2•2n-1=2n，
即

1

an

=2n-1，則

n

an

=n(2n-1)，
則數(shù)列{

n

an

}的前n項和Sn=2-1+2(2n-1)+…+n（2ⁿ-1）=（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n），
設T=2+2×2²+…+n×2ⁿ，
則2T=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T=2+2²+2³+…-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
即T=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，要求熟練掌握錯位相減法．考查學生的計算能力．