Question

如圖所示，有一具開口向上的截面為拋物線型模具，上口AB寬2m，縱深OC為1.5m．
（l）當(dāng)澆鑄零件時，鋼水面EF距AB 0.5m，求截面圖中EF的寬度；
（2）現(xiàn)將此模具運往某地，考慮到運輸中的各種因素，必須把它安置于一圓臺型包裝箱內(nèi)，求使包裝箱的體積最小時的圓臺的上、下底面的半徑．
V_圓臺=

1

3

πh（r₁²+r₂²+r₁r₂），r₁，r₂為上、下底面的半徑，h為高，參考數(shù)據(jù)

4	3

≈

4

3

．

Answer 1

考點：拋物線的應(yīng)用,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）建立坐標系，設(shè)拋物線的方程為y=ax²-

3

2

．將B（1，0）代入，求出拋物線的方程，即可求截面圖中EF的寬度；
（2）求出過點M的切線方程，進而可得圓臺的體積，利用基本不等式求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）以AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸建立坐標系，設(shè)拋物線的方程為y=ax²-

3

2

．
將B（1，0）代入可得a=

3

2

，
∴y=

3

2

x²-

3

2

，
令y=-

1

2

，可得x=±

6

3

，
∴|EF|=

2 6

3

m；
（2）設(shè)拋物線上一點M（t，

3

2

t²-

3

2

）（t＞0），
∵y=

3

2

x²-

3

2

，
∴y′=3x，
∴過點M的切線方程為y-（

3

2

t²-

3

2

）=3t（x-t），
令y=0，得x₁=

1+t2

2t

，即上底半徑為

1+t2

2t

；
令y=-

3

2

，得x₂=

t

2

，即下底半徑為

t

2

，
故V=

1

8

π（3t2+

1

t2

+3）≥

1

8

π(2

3

+3)
當(dāng)且僅當(dāng)3t²=

1

t2

．即t=

1

4 3

≈

3

4

時，圓臺的體積最小，圓臺的上、下底面的半徑分別為

25

24

，

3

8

．
∴包裝箱的體積最小時的圓臺的上、下底面的半徑分別為

25

24

，

3

8

．

點評：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查圓臺的體積，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．