考點(diǎn)：不等式的證明
專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）由a，b，c＞0．可得a
3+b
3+c
3-3abc=（a+b）
3+c
3-（3abc+3a
2b+3ab
2）=（a+b+c）（a
2+b
2+c
2+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a
2+b
2+c
2-ab-ac-bc），再通過(guò)配方即可證明a
3+b
3+c
3≥3abc，進(jìn)而得到
≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．
（2）由a，b，c，d＞0，利用基本不等式可得
a+b≥2，
c+d≥2．再一次利用基本不等式即可證明．
解答：
證明：（1）∵a，b，c＞0．
∴a
3+b
3+c
3-3abc=（a+b）
3+c
3-（3abc+3a
2b+3ab
2）=（a+b+c）（a
2+b
2+c
2+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a
2+b
2+c
2-ab-ac-bc）
=
(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0．
∴a
3+b
3+c
3≥3abc，
∴
≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．
（2）∵a，b，c，d＞0，∴
a+b≥2，
c+d≥2．
∴a+b+c+d
≥2+2≥4=
4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)取等號(hào)．
∴
≥．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了均值不等式的證明方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
如圖四面體ABCD的棱BD長(zhǎng)為2，其余各棱長(zhǎng)均為