求證：當a，b，c，d＞0．
（1）
a+b+c
3
≥
3abc
；
（2）
a+b+c+d
4
≥
4abcd
．
考點：不等式的證明
專題：不等式的解法及應用
分析：（1）由a，b，c＞0．可得a3+b3+c3-3abc=（a+b）3+c3-（3abc+3a2b+3ab2）=（a+b+c）（a2+b2+c2+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc），再通過配方即可證明a3+b3+c3≥3abc，進而得到
a+b+c
3
≥
3abc
，當且僅當a=b=c時取等號．
（2）由a，b，c，d＞0，利用基本不等式可得a+b≥2
ab
，c+d≥2
cd
．再一次利用基本不等式即可證明．
解答： 證明：（1）∵a，b，c＞0．
∴a3+b3+c3-3abc=（a+b）3+c3-（3abc+3a2b+3ab2）=（a+b+c）（a2+b2+c2+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）
=
1
2
(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0．
∴a3+b3+c3≥3abc，
∴
a+b+c
3
≥
3abc
，當且僅當a=b=c時取等號．
（2）∵a，b，c，d＞0，∴a+b≥2
ab
，c+d≥2
cd
．
∴a+b+c+d≥2
ab
+2
cd
≥4
ab
•
cd
=4
4abcd
，當且僅當a=b=c=d時取等號．
∴
a+b+c+d
4
≥
4abcd
．
點評：本題考查了均值不等式的證明方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足log2an+1=log2an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=4，則log 
1
2
（a5+a7+a9）的值是（　�。�
A、-5
B、-
1
5
C、5
D、
1
5

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對于推理：若a＞b，則a2＞b2，因為2＞-2，則22＞（-2）2，即4＞4，下列說法正確的是（　　）
A、大前提錯誤
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C、推理正確
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三階行列式
.
-2 3    4
01   -1
1x   -3
.
，其中第二行，第三列元素的代數(shù)余子式的值等于1，則其中的元素x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖四面體ABCD的棱BD長為2，其余各棱長均為
2
，求二面角A-BD-C的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，已知sinC+cosC=1-sin
C
2
，
（1）求sinC的值；
（2）若△ABC外接圓面積為（4+
7
）π，試求
AC
•
BC
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x）ex-1．
（1）證明：當x＞0時，f（x）＜0；
（2）設(shè)a1=1，anean+1=ean-1，證明對任意的正整數(shù)n，總有an+1＜an．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求二項式（x2+2）（
1
x2
-1）2的展開形式的常數(shù)項．

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