Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，已知sinC+cosC=1-sin

C

2

，
（1）求sinC的值；
（2）若△ABC外接圓面積為（4+

7

）π，試求

AC

•

BC

的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量的綜合題,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）sinC+cosC=1-sin

C

2

⇒2sin

C

2

cos

C

2

=2sin2

C

2

-sin

C

2

⇒sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

 （*），將（*）式兩邊同時平方即可求得sinC的值；
（2）由（1）知sinC=

3

4

，易求cosC=-

7

4

，依題意，利用正弦定理與余弦定理及基本不等式可求得0＜ab＜9，于是可求得

AC

•

BC

=abcosC的范圍．

解答： 解：（1）由sinC+cosC=1-sin

C

2

得，2sin

C

2

cos

C

2

=2sin2

C

2

-sin

C

2

…2分
∵sin

C

2

＞0，∴sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

 （*）…4分
將（*）式兩邊同時平方得，1-sinC=

1

4

⇒sinC=

3

4

…7分
（2）由（*）式知，sin

C

2

＞cos

C

2

，從而

C

2

＞

π

4

，從而C為鈍角，
∴cosC=-

7

4

．…9分
根據(jù)正弦定理，c=2RsinC，從而c²=4R²sin²C=

9

4

（4+

7

）…11分
根據(jù)余弦定理，又c²=

9

4

（4+

7

）=a²+b²-2ab•（-

7

4

）≥2ab（1+

7

4

），
∴0＜ab≤

9

2

，
因此，

AC

•

BC

=abcosC∈[-

9 7

8

，0），即

AC

•

BC

范圍為∈[-

9 7

8

，0）．…14分．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦定理與余弦定理及基本不等式及平面向量的數(shù)量積的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．