Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b∈R），函數(shù)g（x）=lnx．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的最大值；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）的圖象能否恒在函數(shù)y=bg（x）的上方？若能，求出a，b的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由a=0，可得f（x）=bx，由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知兩圖象相切時(shí)b取最大值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）由于b=0，x＞0，可得f(x)=g(x)?a=

lnx

x2

，即原題等價(jià)于直線y=a與函數(shù)r（x）=

lnx

x2

的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)r（x）的單調(diào)性即可得出；
（3）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0時(shí)恒成立．對(duì)a，b分類討論，再利用（1）（2）的結(jié)論即可得出．

解答： 解：（1）∵a=0，∴f（x）=bx，
由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知兩圖象相切時(shí)b取最大值，
設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，∵f′(x)=b， g′(x)=

1

x

，
∴

b= 1 x0 bx0=lnx0

 ， ∴x0=e，
∴b=

1

e

，即實(shí)數(shù)b的最大值為b=

1

e

；  
（2）∵b=0，x＞0，
∴f(x)=g(x)?a=

lnx

x2

，
即原題等價(jià)于直線y=a與函數(shù)r（x）=

lnx

x2

的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
∵r′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

，
由r′（x）＞0，解得0＜x＜

e

，∴r（x）在(0，

e

)單調(diào)遞增，且r（x）∈(-∞，

1

2e

)；
由r′（x）＜0，解得x＞

e

，∴r（x）在(

e

，+∞)單調(diào)遞減，且r（x）∈(0，

1

2e

)．
∴a∈(

1

2e

，+∞)時(shí)，無公共點(diǎn)；a∈(-∞，0]∪{

1

2e

}時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；a∈(0，

1

2e

)時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)．   
（3）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)y=bg（x）的上方，
即f（x）＞bg（x）在x＞0時(shí)恒成立，
①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）圖象開口向下，即f（x）＞bg（x）在x＞0時(shí)不可能恒成立，
②a=0時(shí)，bx＞blnx，由（1）可得x＞lnx，
∴b＞0時(shí)，f（x）＞bg（x）恒成立，b≤0時(shí)，f（x）＞bg（x）不成立，
③a＞0時(shí)，
若b＜0，則

a

b

＜

lnx-x

x2

，由（2）可得

lnx-x

x2

無最小值，故f（x）＞bg（x）不可能恒成立，
若b=0，則ax²＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
若b＞0，則ax²+b（x-lnx）＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
綜上，a=0，b＞0或a＞0，b≥0時(shí)
函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)y=bg（x）的圖象的上方．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．