Question

在橢圓中，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦，叫做橢圓的通徑．如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其離心率為

1

2

，通徑長為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₂的動直線l交橢圓于A、B兩點，
（�。﹩栐趚軸上是否存在定點C，使

CA

•

CB

恒為常數？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．
（ⅱ）延長BF₁交橢圓于點M，I₁、I₂分別為△F₁BF₂、△F₁MF₂的內心，證明四邊形F₁I₂F₂I₁與△MF₂B的面積的比值恒為定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c

a

=

1

2

，

2b2

a

=3，由此能求出橢圓的方程．
（2）（�。┊斨本�BM的斜率不為0時，設BM：x=my+1，聯立方程

x=my+1 3x2+4y2-12=0

得（3m²+4）y²+6my-9=0．由此能求出

CM

•

CB

=-

135

64

，直線BM的斜率為0時，

CM

•

CB

=-

135

64

也成立．所以在x軸上存在定點C(

11

8

，0)，使

CM

•

CB

為常數．
（ⅱ）橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，c=1，由已知條件推導出S△F1I1F2：S△F1BF2=1：3，S△F1I2F2：S△F1AF2=1：3．從而得到四邊形F₁I₂F₂I₁與△AF₂B的面積的比值為

1

3

．

解答： （1）解：由

c

a

=

1

2

，得：a=2c．又通徑長為3，
由x=c代入橢圓方程得y2=

b4

a2

，
則

2b2

a

=3，解得a=2，b=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）（�。┙猓杭僭O在x軸上存在定點C（n，0），使

CM

•

CB

為常數．
①當直線BM的斜率不為0時，設BM：x=my+1，
聯立方程

x=my+1 3x2+4y2-12=0

得（3m²+4）y²+6my-9=0．
設B（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
則△＞0恒成立，y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，…（6分）
所以（x₁-n）（x₂-n）=（my₁+1-n）（my₂+1-n）
=m2y1y2+m(1-n)(y1+y2)+(1-n)2
=-

9m2

3m2+4

-

6m2(1-n)

3m2+4

+(1-n)2
=

3m2n2-12m2+4n2-8n+4

3m2+4

，

CM

•

CB

=(x1-n)(x2-n)+y1y2=

3m2n2-12m2+4n2-8n-5

3m2+4

=n2-4-

8n-11

3m2+4

．
因為

CM

•

CB

與m無關，則n=

11

8

時，

CM

•

CB

=(

11

8

)2-4=-

135

64

．
②直線BM的斜率為0時，

CM

•

CB

=-

135

64

也成立
故在x軸上存在定點C(

11

8

，0)，使

CM

•

CB

為常數．…（10分）
（ⅱ）證明：橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，c=1，
設△F₁BF₂的內切圓的半徑為r，
則S△F1BF2=

1

2

(|BF1|+|BF2|+|F1F2|)•r=3r，S△F1I1F2=

1

2

•|F1F2|•r=r．
則S△F1I1F2：S△F1BF2=1：3，同理得，S△F1I2F2：S△F1AF2=1：3．
所以，p=SF1I2F2I1：S△AF2B=1：3
四邊形F₁I₂F₂I₁與△AF₂B的面積的比值為

1

3

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查使得向量的數量積為常數的點的坐標是否存在的判斷與求法，考查四邊形與三角形的面積比恒定值的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．