Question

過函數(shù)y=x 

1

2

（0＜x＜1）圖象上一點M作切線l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），則△PQN面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出切點坐標(biāo)，求出在切點處的導(dǎo)數(shù)，寫出切線方程，分別取x=0和y=1求出切線和y軸及直線y=1的交點坐標(biāo)，根據(jù)切點橫坐標(biāo)的范圍求出△PQN面積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答： 解：設(shè)切點為（x₀，y₀），由y′=

1

2 x

，得y′|x=x0=

1

2 x0

．
∴切線方程為y-

x0

=

1

2 x0

(x-x0)．
取x=0，得y=

x0

2

，取y=1，得x=2

x0

-x₀．
∴S△PQN=

1

2

|

x0

2

-1|•|2

x0

-x0|．
∵0＜x₀＜1，
∴S△PQN=

1

2

(1-

x0

2

)(2

x0

-x0)=

4 x0 -4x0+x0 x0

4

．
S′=

2 x0 -4+ 3 2 x0

4

=

4-8 x0 +3x0

8 x0

．
令S′=0，得4-8

x0

+3x0=0．
解得：

x0

=

2

3

或

x0

=2．
∵0＜x₀＜1，∴x0=

4

9

．
∴當(dāng)0＜x0＜

4

9

時，S′＞0，函數(shù)S（x₀）為增函數(shù)，
當(dāng)

4

9

＜x0＜1時，S′＜0，函數(shù)S（x₀）為減函數(shù)，
∴x0=

4

9

時，S取得最大值，為

8 3 - 16 9 + 8 27

4

=

8

27

．
故答案為：

8

27

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則，是中高檔題．