Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-1
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

′

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）先將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到函數(shù)y=F（x）的圖象，再將y=F（x）的圖象橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求證：直線2x-2y-1=0與y=g（x）的圖象相切于(0，-

1

2

)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，于是可求該函數(shù)的最小正周期；
（2））-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

⇒-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得y∈[-

3 +1

2

，

1

2

]；
（3）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=sinx-

1

2

，易求g′（x）=cosx，從而可求g（x）在切點(diǎn)為（0，-

1

2

）處的切線方程．

解答： 解：（1）由已知可得：f（x）=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin2xcos

π

6

-sin

π

6

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴y∈[-

3 +1

2

，

1

2

]．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到函數(shù)F（x）=f（x+

π

12

）=sin2x-

1

2

，
再將y=F（x）的圖象橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）=sinx-

1

2

．
∵g′（x）=cosx，
∴切線的斜率k=g′（0）=cos0=1，而切點(diǎn)為（0，-

1

2

），
∴g（x）的切線方程為y-（-

1

2

）=x-0，即2x-2y-1=0，
∴直線2x-2y-1=0與y=g（x）的圖象相切于（0，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，突出考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．