Question

【題目】設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列， ， ， 為階“期待數(shù)列”：

①；

②.

（）分別寫(xiě)出一個(gè)單調(diào)遞增的階和階“期待數(shù)列”.

（）若某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為，試證： .

Answer 1

【答案】(1)三階： ， ， 四階： ， ， ， ．(2) ；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）借助新定義利用等差數(shù)列，寫(xiě)出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；

（Ⅱ）利用某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，通過(guò)公差為0，大于0．小于0，分別求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）判斷k=n時(shí)， ，然后證明k＜n時(shí)，利用數(shù)列求和以及絕對(duì)值三角不等式證明即可.

試題解析：

（）三階： ， ， 四階： ， ， ， ．

（）設(shè)等差數(shù)列， ， ， ， 公差為，

∵，

∴，

∴，即，

∴且時(shí)與①②矛盾，

時(shí)，由①②得： ，

∴，即，

由得，即，

∴，

令，

∴，

時(shí)，同理得，

即，

由得即，

∴，

∴時(shí)， ．

（）當(dāng)時(shí)，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，根據(jù)條件①得，

，

即，

，

∴，

∴．