Question

已知函數(shù)f（x）=

4x+2x+1+a

2x

．
（1）a的值為多少時，f（x）是偶函數(shù)？
（2）若f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可求出a的值．
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù) 即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

4x+2x+1+a

2x

=2x+2+

a

2x

=2x+2+a?2-x，
∴若f（x）是偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），
即2^-x+2+a?2^x=2^x+2+a?2^-x，
∴（a-1）（2^x-2^-x）=0，
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵f（x）=

4x+2x+1+a

2x

=2^x+2+a?2^-x，
∴f'（x）=2^xln?2-a?2^-xln?2，
若f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則f'（x）=2^xln?2-a?2^-xln?2≥0恒成立，
即a≤

2x

2-x

=4x在[0，+∞）上恒成立，
∵在[0，+∞）上，4^x≥1，
∴a≤1，
即實數(shù)a的取值范圍a≤1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)將單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立是解決本題的關(guān)鍵．