Question

已知函數(shù)f（x）滿足對于?x∈R，均有f（x）+2f（-x）=a^x+2（

1

a

）^x+xlna（a＞1成立．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）的最小值．
（3）證明：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）解方程組直接求出f（x）；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而求出最值；（3）問較為麻煩，用到了（2）中的結(jié)論，特殊值法以及等比數(shù)列的求和等．

解答： 解：（1）由題意得：

f(x)+2f(-x)=ax+2( 1 a )x+xlna f(-x)+2f(x)=( 1 a )x+2ax-xlna

，
 解之得：f（x）=a^x-xlna
（2）∵f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當x＞0時：f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；
當x＜0時：f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0）上遞減；
∴f（x）_min=f （0）=1．
（3）由（2）得：a^x-xlna≥1恒成立，令a=e，則e^x≥x+1，
在e^x≥x+1中，令x=-

k

n

（k=1，2，…n-1）
∴1-

k

n

≤e-

k

n

∴(1-

k

n

)n≤e-k
∴（1-

1

n

）ⁿ≤e^-1    （1-

2

n

）ⁿ≤e^-2…（1-

n-1

n

）ⁿ≤e^-（n-1），（

n

n

）ⁿ=1
∴（

n

n

）ⁿ+（

n-1

n

）ⁿ+（

n-2

n

）ⁿ+…+（

1

n

）ⁿ≤1+e^-1+e^-2+…+e^-（n-1）
=

1-( 1 e )n

1- 1 e

=

e[1-( 1 e )n]

e-1

＜

e

e-1

．

點評：本題是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，前兩問是求解析式和單調(diào)區(qū)間，相對容易；第三問難度較大．