Question

已知函數(shù)f(x)=

2

3

kx3-k2x2+12x，是否存在實(shí)數(shù)k，使函數(shù)在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增？若存在，求出所有k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由k=3f'（x）=2kx²-2k²x+12，令f'（2）=0，得k=3或k=-1，對k進(jìn)行檢驗(yàn)從而得出結(jié)論．

解答： 解：存在 
∵k=3f'（x）=2kx²-2k²x+12
令f'（2）=0，得k=3或k=-1，
k=-1時(shí)，f'（x）=-2x²-2x+12=-2（x+3）（x-1）
在（2，+∞）上f'（x）＜0，不符題意，舍；
k=3時(shí)，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）
在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0
即函數(shù)在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，
∴k=3

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．