Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3-x-a，x≤0 f(x-1)，x＞0

，若f（x）=x有且僅有三解，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[0，2]
• B、（-∞，2）
• C、（-∞，1]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程g（x）-x-a=0有三個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，我們可以轉(zhuǎn)化求函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=x+a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過圖象觀察法可得出a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-1＜x-1≤0，則f（x-1）=3^1-x-a，即f（x）=3^1-x-a，
同樣可得1＜x≤2，f（x）=3^2-x-a；當(dāng)2＜x≤3，f（x）=3^3-x-a，
…
∴f（x）=x有且僅有三解等價(jià)于y=x+a與y=g（x）=

3-x，x≤0 g(x-1)，x＞0

的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)．
畫出g（x）的圖象和直線y=x+a，（當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的圖象呈現(xiàn)周期性變化）
由圖可知
（1）當(dāng)a≥3時(shí)，兩個(gè)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)2≤a＜3時(shí)，兩個(gè)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（3）當(dāng)a＜2時(shí)，兩個(gè)圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；
即當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）=x+a有三個(gè)實(shí)解
故選B．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，根據(jù)方程的根即為對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)，將本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用圖象法進(jìn)行解答是解答本題的關(guān)鍵．