Question

7．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）-\frac{1}{1+{x}^{2}}，x≥0}\\{ln（-x+1）-\frac{1}{1+{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，則使得f（a-2）＜f（4-a²）成立的a取值范圍是a＞2或a＜-3或-1＜a＜2．

Answer 1

分析 可知f（x）在R上是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)；從而可得|a-2|＜|4-a²|，從而解得．

解答 解：當(dāng)x＜0時，f（x）=ln（-x+1）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=f（-x）；
當(dāng)x＞0時，f（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=ln（-（-x）+1）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=f（-x）；
故f（x）在R上是偶函數(shù)；
當(dāng)x＞0時，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{2x}{（1+{x}^{2}）}$＞0，
故f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
∵f（a-2）＜f（4-a²），
∴|a-2|＜|4-a²|，
即|a+2|＞1且|a-2|≠0，
即a＞2或a＜-3或-1＜a＜2；
故答案為：a＞2或a＜-3或-1＜a＜2．

點評 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．