Question

16．頂點在原點，焦點在x軸的拋物線截直線y=-2x-1所得的弦長|AB|=5$\sqrt{3}$，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 設拋物線方程為y²=2px（p≠0），將直線方程y=-2x-1代入，并整理，利用韋達定理，結合弦長公式，即可求拋物線的方程．

解答 解：設拋物線方程為y²=2px（p≠0），
將直線方程y=-2x-1代入，并整理得4x²+（4-2p）x+1=0．
設方程的兩個根為x₁，x₂，則根據(jù)韋達定理有x₁+x₂=$\frac{p-2}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
由弦長公式，得|AB|²=75=[1+（-2）²][（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
即15=（$\frac{p-2}{2}$）²-1．
整理得p²-4p-60=0，
解得p=10，或p=-6，
故所求的拋物線方程為y²=20x，或y²=-12x

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的弦長計算，屬于中檔題．