Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意n∈N^*都有：（S_n-1）²=a_nS_n；
（1）求S₁，S₂，S₃；     
（2）猜想S_n的表達(dá)式并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由（S_n-1）²=a_nS_n，可得S_n=

1

2-Sn-1

，即可求S₁，S₂，S₃；     
（2）猜想Sn=

n

n+1

，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）∵（S_n-1）²=a_nS_n，
∴(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn，
∴S_n=

1

2-Sn-1

，
又(S1-1)2=S12，
∴S₁=

1

2

，S2=

2

3

，S3=

3

4

，
（2）猜想Sn=

n

n+1

．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，S1=

1

2

，

n

n+1

=

1

2

，猜想正確；
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想正確，即Sk=

k

k+1

，
那么，n=k+1時(shí)，由Sk+1=

1

2-Sk

=

1

2- k k+1

=

k+1

(k+1)+1

，猜想也成立，
綜上知，Sn=

n

n+1

對一切自然數(shù)n均成立．

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．