Question

已知：x∈[

π

3

，

5π

6

]，則函數(shù)f（x）=cos2x-6cosx+1的值域是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：化簡可得f（x）=2（cosx-

3

2

）²-

9

2

，由x∈[

π

3

，

5π

6

]，可得cosx∈[-

3

2

，

1

2

]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得答案．

解答： 解：化簡可得f（x）=cos2x-6cosx+1
=2cos²x-1-6cosx+1=2cos²x-6cosx
=2（cosx-

3

2

）²-

9

2

，
∵x∈[

π

3

，

5π

6

]，∴cosx∈[-

3

2

，

1

2

]，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）在cosx∈[-

3

2

，

1

2

]上單調(diào)遞減，
∴當cosx=-

3

2

時，函數(shù)取最大值

3

2

+3

3

，
當cosx=

1

2

時，函數(shù)取最小值-

5

2

，
∴函數(shù)f（x）=cos2x-6cosx+1的值域為[-

5

2

，

3

2

+3

3

]，
故答案為：[-

5

2

，

3

2

+3

3

]

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)的區(qū)間最值，屬基礎題．