Question

16．已知{a_n}為等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且${S_n}={2^n}+a$（n∈N^*）．
（1）求a的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₄a_n+1，設(shè){b_n}的前n項和S_n，求不等式2S_n≤5的解集．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的定義、通項公式及其前n項和公式可得S_n，進而解出不等式．

解答 解：（1）當n=1時，S₁=a₁=2+a≠0，
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$，
∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴${a_1}=2+a={2^{1-1}}=1$，即a₁=1，a=-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式我${a_n}={2^{n-1}}$（n∈N^*）．
（2）由（1）得${b_n}={log_4}{a_n}+1=\frac{n+1}{2}$，
∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為$d=\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴${S_n}=n{b_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d=\frac{{{n^2}+3n}}{4}$．
由2S_n≤5得n²+3n-10≤0，即-5≤n≤2，
又n∈N^*，∴所求不等式的解集為{1，2}．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．