Question

19．如圖，已知AB是⊙O的一條弦，延長AB到點(diǎn)C使AB=BC，過點(diǎn)B作DB⊥AC且DB=AB，連接DA與⊙O交于點(diǎn)E，連接CE與⊙O交于點(diǎn)F．
（1）求證：DF⊥CE．
（2）若AB=$\sqrt{6}$，DF=$\sqrt{3}$，求BE．

Answer 1

分析 （1）先由割線定理得CA•CB=CF•CE，再由圖中的等量關(guān)系，得CA•CB=2CB²=DC²=CF•CE，再通證明△CDE和△CFD相似，從而得出∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE；
（2）在等腰Rt△CDB中，CD=2$\sqrt{3}$，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，在Rt△CDE中，求出CE=4，最后在△BCE中，利用余弦定理求出BE的值．

解答 （1）證明：如圖所示，
∵CA與⊙O交于點(diǎn)B，CE與⊙O交于點(diǎn)F，
∴由割線定理，得CA•CB=CF•CE，
∵AB=BC=DB，DB⊥AC，
∴DA=DC=$\sqrt{2}$CB，∠CDB=∠ADB=45°，
∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，
∴CA•CB=2CB²=DC²=CF•CE，即$\frac{DC}{CF}=\frac{CE}{DC}$
又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，
∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．
（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=$\sqrt{6}$
∴CD=2$\sqrt{3}$．
在Rt△DFC中，DF=$\sqrt{3}$，∴sin∠DCF=$\frac{1}{2}$，∴∠DCF=30°，
∴在Rt△CDE中，CE=4，
∵∠ECB=∠DCB-∠DCE=15°
∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°-30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
∴在△BCE中，BE²=BC²+CE²-2BC•CE•cos∠BCE=10-4$\sqrt{3}$，即BE=$\sqrt{10-4\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查圓中的垂直關(guān)系、割線定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．