【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)說(shuō)明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),又直線上有兩點(diǎn)和,且,又點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為銳角.求:
①點(diǎn)的極角;
②面積的取值范圍.
【答案】(1)曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為(2)①②
【解析】
(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對(duì)應(yīng)的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.
(2)
①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程,由此求得點(diǎn)的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進(jìn)而求得,從而求得點(diǎn)的極角.
②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.
解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值,進(jìn)而求得面積的取值范圍.
(1)因?yàn)榍的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
因?yàn)?/span>則曲線的參數(shù)方程
所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.
所以的極坐標(biāo)方程為,即.
(2)①點(diǎn)的極角為,代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)
極徑為,且,所以為等腰三角形,
又直線的普通方程為,
又點(diǎn)的極角為銳角,所以,所以,
所以點(diǎn)的極角為.
②解法1:直線的普通方程為.
曲線上的點(diǎn)到直線的距離
.
當(dāng),即()時(shí),
取到最小值為.
當(dāng),即()時(shí),
取到最大值為.
所以面積的最大值為;
所以面積的最小值為;
故面積的取值范圍.
解法2:直線的普通方程為.
因?yàn)閳A的半徑為2,且圓心到直線的距離,
因?yàn)?/span>,所以圓與直線相離.
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為,
最小值為.
所以面積的最大值為;
所以面積的最小值為;
故面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,E,F分別為,的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),,.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為60°,求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,已知,,,.是線段的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交曲線C于D,E兩點(diǎn)(D在x軸上方),求的值.
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【題目】如圖,三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形,為線段的中點(diǎn),為直線上的動(dòng)點(diǎn),若平面與平面所成銳二面角的平面角為,則的最大值是( )
A.B.C.D.
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【題目】《九章算術(shù)》中盈不足章中有這樣一則故事:“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安,至齊. 齊去長(zhǎng)安三千里. 良馬初日行一百九十三里,日增一十二里;駑馬初日行九十七里,日減二里.” 為了計(jì)算每天良馬和駑馬所走的路程之和,設(shè)計(jì)框圖如下圖. 若輸出的 的值為 350,則判斷框中可填( )
A. B.
C. D.
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【題目】現(xiàn)有如下命題:①若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為;②;③若有一個(gè)不透明的袋子內(nèi)裝有大小、質(zhì)量相同的個(gè)小球,其中紅球有個(gè),白球有個(gè),每次取一個(gè),取后放回,連續(xù)取三次,設(shè)隨機(jī)變量表示取出白球的次數(shù),則;④若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足,則的最小正周期為;
則正確論斷有______________.(填寫(xiě)序號(hào))
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【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其圖象如圖所示.函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí),.給出下列三個(gè)結(jié)論:
①;
②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn);
③不等式的解集為.
其中,正確結(jié)論的序號(hào)是________.
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【題目】對(duì)兩個(gè)變量與進(jìn)行線性相關(guān)性和回歸效果分析,得到一組樣本數(shù)據(jù):、、、,則下列說(shuō)法不正確的是( )
A.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好
B.由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心
C.若變量與之間的相關(guān)系數(shù),則變量與之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性
D.用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果,越小,說(shuō)明模型的擬合效果越好
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