Question

已知圓C：（θ為參數(shù)，θ∈R）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線l，設(shè)切點(diǎn)為M．
（1）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（1，3）處，求此時(shí)切線l的方程；
（2）求滿足條件|PM|=|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

解：把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心為（-1，2），半徑為2
（1）①當(dāng)l的斜率不存在時(shí)：
此時(shí)l的方程為x=1，滿足條件
②當(dāng)l的斜率存在時(shí)：
設(shè)斜率為k，得l的方程為y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
∵，
解得．
∴l(xiāng)的方程為3x+4y-15=0．
綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y-15=0
（2）設(shè)P（x，y），
∵|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-2）²-4，
而|PO|²=x²+y²，
∴由|PM|=|PO|有（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²，
整理得2x-4y+1=0，
即點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+1=0
分析：（1）通過(guò)把已知圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，分存在斜率和不存在斜率的情況討論求出切線l的方程
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），然后用P的坐標(biāo)分別表示出|PM|與|PO|，最后根據(jù)|PM|=|PO|的關(guān)系求出P的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及向量的長(zhǎng)度相等問(wèn)題．其中直線方程考查有無(wú)斜率的情況．本題屬于難題