Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），求直線l與坐標軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和點滿足方程，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，由點差法和中點坐標公式和直線的斜率公式，即可得到中點弦方程，分別求得與x，y軸的交點，可得三角形的面積．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中點坐標公式可得x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
即有AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
可得直線AB的方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），
令x=0，可得y=$\frac{5}{8}$；令y=0，可得x=$\frac{5}{2}$．
則直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{8}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{32}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式的運用，考查中點弦方程的求法，注意運用點差法的運用，考查運算能力，屬于中檔題．