Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為其體對(duì)角線的交點(diǎn)，問過P能夠做多少個(gè)平面，使其與平行六面體的12條棱所成角相等（　�。�

• A、0
• B、4
• C、8
• D、無數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：平形六面體共有3組互相平行的棱，因此只要分別與不同組的三條棱的所成角相等便與其他9條所成角相等．
圖中可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)頂點(diǎn)有著三條不同組的棱，也就是說只要找到一個(gè)過P點(diǎn)與這三條棱所成角都相等的面便可．

解答： 解：平形六面體共有3組互相平行的棱，
因此只要分別與不同組的三條棱的所成角相等便與其他9條所成角相等．
圖中可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)頂點(diǎn)有著三條不同組的棱，
也就是說只要找到一個(gè)過P點(diǎn)與這三條棱所成角都相等的面便可．
如圖所示，以A₁為頂點(diǎn)為例，
只要在ABA₁B₁平面內(nèi)
找到一條直線EG，穿過點(diǎn)P，
與A₁B₁交于E，與A₁A交于點(diǎn)G，
使得A₁G=A₁E，再在A₁D₁上找點(diǎn)F，使得A₁F=A₁E，
這樣EFG平面過點(diǎn)P且與A₁B₁、A₁D₁、A₁A所成夾角都相等，
一個(gè)頂點(diǎn)便能找到與之對(duì)應(yīng)的面，
所以共有8個(gè)頂點(diǎn)，意味著共有8個(gè)面可以與之對(duì)應(yīng)．
但是A₁頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面與C頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面是相同的，所以有4個(gè)面是重復(fù)的．
∴總共有4個(gè)平面．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查過一點(diǎn)人作平面，使其與平行六面體的12條棱所成角相等的平面的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．