Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n=1-2S_n，（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出

an

an-1

=

1

3

，n≥2，又n=1時(shí)，a_n=1-2S₁=1-2a₁，解得a1=

1

3

，由此能證明數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（II）由（I）知an=

1

3n

，從而得到b_n=n（a_n-1）=n•

1

3n

-n，由此利用分組求和法和裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （I）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n=1-2S_n，
∴n≥2時(shí)，a_n-1=1-2S_n-1，
兩式相減得：a_n-a_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n，
∴

an

an-1

=

1

3

，n≥2，
又n=1時(shí)，a_n=1-2S₁=1-2a₁，解得a1=

1

3

，
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（II）解：由（I）知an=

1

3n

，
∴b_n=n（a_n-1）=n•

1

3n

-n，
∴T_n=（1×

1

3

-1）+（2×

1

32

-2）+…+（n•

1

3n

-n）
=（1×

1

3

+2×

1

32

+…+n×

1

3n

）-

n(n+1)

2

，
令P_n=1×

1

3

+2×

1

32

+…+n×

1

3n

，（1）

1

3

Pn=1×

1

32

+2×

1

33

+…+n×

1

3n+1

，（2）
（1）-（2），得

2

3

Pn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-n×

1

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-n×

1

3n+1

=

1

2

-

1

2

×

1

3n

-n×

1

3n+1

．
∴P_n=

3

4

-

n+9

3n+1

．
∴Tn=

3

4

-

n+9

3n+1

-

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．