Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

5

6

，且a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

（n∈N^*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{a_n-

1

2

}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，兩邊減去

1

2

即可得證數(shù)列{a_n-

1

2

}為等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出
a_n；
（2）運(yùn)用分組求和，將T_n可以分成數(shù)列{n•(

1

3

)n}與等差數(shù)列{

n

2

}的和，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列
{n•(

1

3

)n}的前n項(xiàng)的和，相加即可．

解答： （1）證明：由a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，兩邊減去

1

2

得，
a_n-

1

2

=≡

1

3

（a_n-1-

1

2

）（n∈N^*，n≥2）
即

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

，
根據(jù)等比數(shù)列的定義，
可知數(shù)列{an-

1

2

}是以

1

3

為公比的等比數(shù)列，又首項(xiàng)為a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴an-

1

2

=（

1

3

）ⁿ，
∴an=

1

2

+(

1

3

)n；
（2）解：b_n=

n

2

+n•（

1

3

）ⁿ，
∴T_n可以分成數(shù)列{n•(

1

3

)n}與等差數(shù)列{

n

2

}的和．
令S=1×（

1

3

）+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n---（1）

1

3

S=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1---（2）
（1）-（2）：

2

3

S=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n×(

1

3

)n+1
=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-n×(

1

3

)n+1
=

1

2

-

1

2×3n

-

n

3n+1

，
∴S=（

1

2

-

1

2×3n

-

n

3n+1

）×

3

2

，
=

3

4

-

2n+1

4×3n

又令S’=

1+2+…+n

2

=

n(n+1)

4

∴T_n=S+S'=

3

4

-

2n+1

4×3n

+

n(n+1)

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的求和方法：分組求和、錯(cuò)位相減法，考查基本的運(yùn)算能力，是一道中檔題．