Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知c=1，C=

π

6

．
（1）若a=

3

，求b的值；
（2）求cosA•cosB的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，c以及cosC的值代入即可求出b的值；
（2）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入原式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，a=

3

，c=1，C=

π

6

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即1=3+b²-3b，
解得：b=1或b=2；
（2）∵C=

π

6

，
∴B=

5π

6

-A，
cosA•cosB=cosA•cos（

5π

6

-A）=cosA（-

3

2

cosA+

1

2

sinA）=-

3

2

cos²A+

1

2

sinAcosA=-

3

4

+

1

4

sin2A-

3

4

cos2A=-

3

4

+

1

2

sin（2A-

π

3

），
∵0＜A＜

5π

6

，即-

π

3

＜2A-

π

3

＜

4π

3

，
∴-

3

2

＜sin（2A-

π

3

）≤1，
則cosA•cosB的取值范圍是（-

3

2

，

1

2

-

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．