Question

2013年11月27日，國(guó)家假日辦公布了2014年假期安排的三套方案，為了了解老師對(duì)假期方案的看法，某中學(xué)對(duì)全校300名教師進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)差（每人選擇其中的一項(xiàng)），得到如下數(shù)據(jù)：

所持態(tài)度	喜歡方案A	喜歡方案B	喜歡方案C	三種方案都不喜歡
人數(shù)（單位：人）	60	90	120	30

（1）若從這300人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人探討學(xué)校假期的安排．求這3人中喜歡方案A與B的人數(shù)之和恰好為2人的概率；
（2）現(xiàn)讓（1）中所抽取的10人對(duì)學(xué)生的寒假放假時(shí)間（15天或20天，每人選擇其中的一項(xiàng)）進(jìn)行投票，規(guī)定：若這10人中有7人或7人以上都支持其中的一項(xiàng)，則規(guī)定寒假放假的天數(shù)為對(duì)應(yīng)的投票天數(shù)，若這兩種情況的投票數(shù)都達(dá)不到7票，則規(guī)定放假25天．求該校寒假放假天數(shù)的分布列與期望值（精確到整數(shù)天）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用抽出喜歡方案A的人有2人，喜歡方案B的人有3人，喜歡方案C的人有4人，三種方案都不喜歡的人有1人，從這10人中隨機(jī)抽取3人探討學(xué)校假期的安排，則有

C

3 10

種情況，這3人中喜歡方案A與B的人數(shù)之和恰好為2人的情況有：

C

2 2

C

1 5

+

C

2 3

C

1 5

+

C

1 2

C 1 3 C

1 5

種情況，由此能求出這3人中喜歡方案A與B的人數(shù)之和恰好為2人的概率．
（2）由題意知該校寒假放假天數(shù)X=15，20，25，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出該校寒假放假天數(shù)的分布列與期望值．

解答： 解：（1）若從這200人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，
則喜歡方案A的人有2人，喜歡方案B的人有3人，
喜歡方案C的人有4人，三種方案都不喜歡的人有1人，
從這10人中隨機(jī)抽取3人探討學(xué)校假期的安排，則有

C

3 10

種情況，
這3人中喜歡方案A與B的人數(shù)之和恰好為2人的情況有：

C

2 2

C

1 5

+

C

2 3

C

1 5

+

C

1 2

C 1 3 C

1 5

種情況，
∴這3人中喜歡方案A與B的人數(shù)之和恰好為2人的概率為；
p=

C 2 2 C 1 5 + C 2 3 C 1 5 + C 1 2 C 1 3 C 1 5

C 3 10

=

5

12

．
（2）由題意知該校寒假放假天數(shù)X=15，20，25，
P（X=15）=

C

7 10

(

1

2

)7(

1

2

)3+

C

8 10

(

1

2

)8(

1

2

)2+

C

9 10

(

1

2

)9(

1

2

)+

C

10 10

(

1

2

)10=

39

256

，
P（X=20）=

C

7 10

(

1

2

)7(

1

2

)3+

C

8 10

(

1

2

)8(

1

2

)2+

C

9 10

(

1

2

)9(

1

2

)+

C

10 10

(

1

2

)10=

39

256

，
P（X=25）=1-

39

256

-

39

256

=

89

128

，
∴X的分布列為：

X	15	20	25
P	39 256	39 256	89 128

EX=15×

39

256

+20×

39

256

+25×

89

128

≈20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．