Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx-1（a∈R），求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)最值和導數(shù)之間的關(guān)系，討論a的取值對函數(shù)最值的影響，即可得到結(jié)論．

解答： 解：f′（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，所以f（x）的最大值為f（1），最小值為f（e）=ae²-2．
當a＞0時，令f′（x）=0得2ax²=1，①
由①得x=

1 2a

，
（1）若

1 2a

≤1，即a≥

1

2

時，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴最小值為f（1）=a-1
（2）若1＜

1 2a

＜e，即

e2

2

＜a＜

1

2

時，f（x）在（1，

1 2a

）上為減函數(shù)，在（

1 2a

，e）上為增函數(shù)，
∴當x=

1 2a

，函數(shù)f（x）取得極小值，同時也是最小值f（

1 2a

）=

1

2

-ln

1 2a

-1=-

1

2

-ln

1 2a

，
（3）若

1 2a

≥e，即a≤

e2

2

時，f（x）在（1，e）上為減函數(shù)，最小值為f（e）=ae²-2，
綜上得：a≥

1

2

時，最小值為a-1；

e2

2

＜a＜

1

2

時，最小值為-

1

2

-ln

1 2a

，
若a≤0或a≤

e2

2

時，最小值f（e）=ae²-2．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學生推理論證能力，屬中檔題．